솔로우 모형 조정과정(균제상태, 그래프, 헤로드-도마 비교) - 2

솔로우 모형 균제상태

 

 

안녕하세요, 여러분. 화사한 햇살이 가득한 오늘 같은 날, 창밖을 바라보며 저희는 여러분에게 경제 지식을 전달하기 위해 열심히 타이핑 중입니다. 오늘은 경제성장 이론 중 하나인 솔로우 모형에 대해 알아보는 시간을 가질 텐데요, 이번 포스팅은 그 두 번째 시리즈입니다. 이 개념을 이해하시면 여러분의 경제적 인사이트를 한층 더 넓히는 데 도움이 될 것입니다.

 

이번 내용에 들어가기 전에, 만약 아직 솔로우 모델에 대한 첫 번째 포스팅을 보지 않으셨다면, 꼭 먼저 읽어보시길 권장드립니다. 그 내용을 이해하신다면 오늘의 포스팅을 훨씬 더 잘 이해하실 수 있을 거예요. 아래에 첫 번째 포스팅을 참고할 수 있는 그림이나 링크를 준비했으니, 시간을 내어 한번 살펴보시는 것도 좋을 것 같습니다.

 

 

솔로우 모형이란 바로가기

 

 

솔로우 모형 핵심 균제상태

 

 

솔로우 모델의 핵심 개념을 자세히 살펴보겠습니다.

 

개인별 자본량 변화, 즉 Δk의 구성은 어떻게 되는지 알아보겠습니다. 개인별 자본량을 늘리는 요소와 줄이는 요소를 모두 고려해야 합니다.

 

개인별 자본량을 증가시키는 주된 요소는 무엇일까요? 바로 경제적 투자입니다. 투자가 이뤄지면 전체 자본이 증가하며, 결과적으로 개인별 자본량도 증가하게 됩니다.

 

모델을 단순화하기 위해, 저축액(S)과 투자액(I)이 같다고 가정해 보겠습니다. 이에 따라 개인별 저축액이 곧 개인별 투자액이 되며, 이는 개인별 자본량 증가로 이어집니다.

 

개인별 자본량은 저축률(s)과 개인별 생산함수 f(k)의 곱으로 나타낼 수 있습니다. 즉, sf(k)라는 식으로 표현할 수 있습니다. 개인별 저축이 이뤄지면 그만큼 개인별 투자도 발생하고, 이로 인해 개인별 자본량이 증가하게 됩니다.

 

하지만 인구가 증가하면, 개인별 자본량은 nk만큼 줄어들게 됩니다. nk는 인구 증가에 따른 개인별 자본량의 감소량을 의미합니다. nk만큼의 추가 투자가 이루어진다면, 개인별 자본량의 감소를 막을 수 있으며, 이를 자본 유지량이라고 부르기도 합니다. 즉, nk는 인구 증가 시 개인별 자본량 감소를 나타내는 지표입니다.

 

이를 토대로 기본 방정식은 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

 

Δk = sf(k) - nk

 

솔로우 모형 1인당 자본량 변화분 기본식

 

 

여기서, sf(k)의 값이 nk보다 클 경우, 개인별 자본량은 증가할 것입니다. 반대로 nk가 sf(k) 보다 클 경우, 개인별 자본량은 감소하는 경향을 보일 것입니다.

 

만약 증가분과 감소분이 서로 같아진다면, 개인별 자본량은 변하지 않고 일정한 값을 유지하게 됩니다. 이때 Δk 값은 0이 됩니다. 즉, 개인별 자본량의 증가분과 감소분이 동일하면 변화가 없으므로 Δk 값이 0이 됩니다.

 

솔로우 모델에서 이러한 균형 상태, 즉 개인별 자본량이 변화하지 않는 상태를 균제 상태라고 부릅니다. 이 균제 상태는 모델에서 매우 중요한 의미를 가집니다.

 

솔로우 모형 균제상태

 

균제상태 그래프

 

이어지는 내용에서 균제 상태를 그래프로 설명해 보겠습니다.

 

가로축으로는 개인별 자본량 k를, 세로축으로는 개인별 소득 y를 나타내는 그래프에서 시작해 보겠습니다. 이 그래프에는 세 가지 중요한 곡선이 그려져 있습니다.

 

첫 번째로 개인별 소득 곡선 y=f(k), 두 번째로 개인별 저축 곡선 y=sf(k), 그리고 마지막으로 자본 유지선 y=nk입니다.

 

이제 기본 방정식 Δk를 다시 살펴보면, 개인별 저축 sf(k)에서 개인별 자본 감소분 nk를 뺀 값이 됩니다. sf(k)와 nk가 같아지는 순간, 즉 y=sf(k) 곡선과 y=nk 곡선이 만나는 교점에서 개인별 자본량 k는 어떻게 될까요? 바로 변화가 없습니다.

 

두 곡선이 교차하는 이 교점에서 개인별 자본량은 일정한 값을 유지하게 됩니다. 이는 개인별 자본량 증가 요인과 감소 요인이 정확히 일치하기 때문입니다. 이러한 상태를 우리는 균제 상태라고 부릅니다.

 

균제 상태가 아닌 상황을 가정해 보겠습니다.

 

균제상태 그래프

 

 

첫 번째로, 균제상태 k*보다 낮은 개인별 자본량 k1에서 시작한다면, 자본 증가분은 점 b의 높이로, 자본 유지량은 점 a의 높이로 표현됩니다.

 

여기서 k1에서의 자본 증가분이 자본 유지량보다 크기 때문에, 개인별 자본량 k는 증가 경향을 보입니다. 이 증가는 점 b와 a의 높이 차이가 없어질 때까지, 즉 교점에 도달할 때까지 계속됩니다.

 

두 번째로, 첫 번째와 반대로, 균제상태 k*보다 높은 개인별 자본량 k2에서 시작한다면, 자본 증가분은 점 c의 높이로, 자본 감소분은 점 d의 높이로 나타납니다.

 

이 경우, 자본 감소분이 더 크기 때문에 Δk는 감소하고, 결과적으로 개인별 자본량 k도 줄어듭니다. 이 감소는 점 d와 c의 높이 차이가 없어질 때까지, 즉 교점에 도달할 때까지 지속됩니다.

 

결국, 개인별 자본량이 균제상태보다 적거나 많을 경우, 경제는 균제상태로 향하는 경향을 보입니다. 이는 솔로우 모델에서 균제 상태의 중요성을 강조합니다. 

 

균제상태 심화내용

 

균제상태의 개념을 더 깊게 이해해 볼까요?

 

균제상태에서는 개인별 투자량과 필요한 투자량이 같아집니다. 이는 개인별 투자량 s와 생산함수 f(k)의 곱, 그리고 필요한 투자량 nk가 서로 일치한다는 의미입니다. 이 두 요소가 같아지면, 개인별 자본량은 변하지 않는 상태, 즉 균제 상태에 도달한다고 할 수 있습니다.

 

균제 상태에서 개인별 자본량의 크기는 변하나요, 안 변하나요? 변하지 않습니다. 균제상태에서는 Δk가 0이므로, 개인별 자본량은 특정 값 k에 고정됩니다. 이는 개인별 국민소득과 개인별 생산량 또한 y에서 고정된다는 것을 의미합니다. 이 부분은 명확하죠?

 

이제, 매년 인구가 n의 비율로 증가한다고 가정해 봅시다. 이 n은 인구 증가율을 나타냅니다. 만약 인구 증가율이 5%라면, 매년 전체 인구는 5%씩 증가합니다. 따라서 전체 생산량, 즉 총 생산량 Y도 인구 증가율만큼 증가한다고 볼 수 있습니다.

 

이 부분이 조금 혼란스러울 수 있습니다. 인구가 매년 n의 비율로 증가한다는 것은, 예를 들어 5%씩 증가한다는 것을 의미합니다. 그렇다면 전체 생산량도 같은 비율로 증가하게 됩니다.

 

간단히 말하자면, 균제 상태에서 개인별 국민소득의 변화율은 0입니다. 개인별 자본량의 증감 요인이 동일하기 때문에, 개인별 자본량은 변하지 않으며, 따라서 개인별 국민소득도 변화하지 않습니다.

 

시간이 흘러도 균제상태에 머무르면 개인별 국민소득은 일정한 값을 유지합니다. 따라서 개인별 국민소득의 변화율은 0이 됩니다.

 

그러나 균제상태에서 전체 경제를 고려하면, 전체 생산량의 증가율은 인구 증가율과 같게 됩니다. 이것이 어떻게 가능할까요?

 

균제상태에서는 전체 경제 성장률과 인구증가율 일치

 

 

예를 들어, '빵나라'라는 가상의 국가에서 모든 사람이 오븐을 하나씩 가지고 있고, 각자 오븐으로 빵을 한 개씩 만든다고 가정해 봅시다. 인구가 10% 증가하면, 오븐의 수도 10% 증가해야 개인별 자본량이 유지됩니다.

 

따라서, 개인별 국민소득은 변하지 않지만, 전체 생산량은 인구 증가율만큼 증가합니다. 이는 경제 전체의 성장률이 인구 증가율에 의해 결정된다는 것을 의미합니다.

 

균제 상태에서는 노동과 자본이 완전히 활용되며, 경제는 인구 증가율에 맞춰 성장합니다. 따라서, 경제가 균제 상태에 있을 때는 인구 증가와 함께 전체 경제도 같은 비율로 성장하게 됩니다.

 

이러한 상황에서는 1인당 국민소득은 변화하지 않지만, 전체 경제는 인구 증가율에 따라 성장합니다. 

 

더 깊은 이해를 위해 앞서 언급한 기본 방정식으로 돌아가 보겠습니다.

 

기본 방정식은 개인별 자본량의 변화량, 즉 Δk가 개인별 저축량 sf(k)에서 nk를 뺀 값임을 상기해주세요.

 

이 방정식은 다음과 같습니다: Δk = sf(k) - nk.

 

이제, 이 방정식 양변을 k로 나누어 변형해 보겠습니다. Δk를 k로 나누면 개인별 자본의 증가율을 나타내게 됩니다. sf(k)/k는 자본 증가율을 의미하며, nk에서 k를 나누면 n만 남게 되므로 인구 증가율을 의미하게 됩니다.

 

따라서 방정식은 다음과 같이 변합니다: Δk/k = sf(k)/k - n.

 

여기서 Δk/k, 즉 1인당 자본 증가율은 자본의 증가율 sf(k)/k에서 인구 증가율 n을 뺀 값이 됩니다. 균제상태에서는 개인별 자본량이 일정하므로, 자본의 생산성과 인구 증가율이 일치하게 됩니다. 이는 균제상태에서 자본 증가율과 인구 증가율이 같다는 것을 의미합니다.

 

자본 증가율과 인구 증가율이 일치하는 상황에서는 노동과 자본이 완전히 활용되며, 이로 인해 경제는 인구 증가율과 동일한 속도로 성장하게 됩니다. 이는 경제의 성장률이 인구 증가율에 의해 결정됨을 나타냅니다.

 

솔로우 모델에 따르면, 경제는 결국 균제상태에 이르게 됩니다. 이는 개인별 자본량의 증가와 감소를 통해 균제 상태에서의 개인별 자본량으로 회귀하게 되는데, 이때 자본 증가율과 인구 증가율이 일치하므로, 노동과 자본의 완전 고용이 이루어지며 경제는 인구 증가율만큼 성장하게 됩니다.

 

결국, 경제가 인구 증가율에 맞춰 성장하려면 "sf(k)/k = n"이라는 균형 조건을 만족해야 합니다. 이 조건은 솔로우 모델에서 매우 중요한 개념으로, 경제의 성장과 완전 고용을 이해하는 데 핵심적인 역할을 합니다.

 

균제상태에서 관계식

 

균제상태 확장(감가상각, 기술진보)

 

이제 균형 조건식을 조금 더 확장하여 살펴보도록 하겠습니다.

 

자본재가 매년 일정 비율 d로 감가상각되는 상황을 가정해 보겠습니다.

 

이 경우, 기존의 균형 조건식 "sf(k) / k = n"은 "sf(k) / k = (n + d)"로 변화하게 됩니다. 여기서 d는 감가상각률을 나타냅니다. 이 변형된 식은 기본적으로 헤로드-도마 모형과 유사한 논리를 따릅니다.

 

이 식을 개인별 자본량 k로 곱하면, "sf(k) = (n + d) k"라는 새로운 형태로 나타낼 수 있습니다. 이 두 식은 같은 원리를 다른 방식으로 표현한 것에 불과합니다.

 

"sf(k) = (n + d) k" 식에서 sf(k)는 저축으로 인한 투자 즉, 개인별 자본 증가분을 나타내며, "(n + d)k"는 인구 증가율과 감가상각을 반영한 자본 감소분을 의미합니다.

 

"sf(k) / k"는 자본의 증가율을, "n + d"는 자본의 감소율을 나타냅니다.

 

따라서 "sf(k) / k = (n + d)" 식은 균형 조건을 백분율로 표현한 것이고, "sf(k) = (n + d)k" 식은 재화의 수량으로 균형 조건을 나타낸 것입니다.

 

이 모델을 더 확장하여 기술 발전이 매년 일정 비율 g로 발생한다고 가정해 보겠습니다.

 

이 경우 균형 조건식에 g를 추가하여 "sf(k) / k = (n + d + g)"로 표현할 수 있습니다. 이때 "(n + d + g) k"는 인구 증가율, 감가상각률, 그리고 기술 발전율을 모두 고려한 자본의 실질적인 감소분을 나타냅니다.

 

감가상각, 기술진보 고려한 균제상태

 

 

따라서 솔로우 모델에서는 이러한 확장된 균형 조건식을 통해 경제의 성장과 자본의 변화를 설명할 수 있습니다. 이는 경제가 인구 증가, 자본의 감가상각, 그리고 기술 발전을 포함한 다양한 요인들의 영향을 받으며 균형 상태로 이동한다는 것을 보여줍니다.

 

 

솔로우 모형과 헤로드-도마 모형 균형 조건식 비교

 

 

솔로우 모델과 헤로드-도마 모델의 균형 조건을 비교해 보겠습니다.

 

헤로드-도마 모델에서는 자본의 출력비율을 나타내는 v와 저축률 s가 인구 증가율 n과 일치할 때, 즉 "s/v = n"일 때 경제가 균형 상태에 있고 노동과 자본의 완전고용이 달성된다고 설명합니다. 여기서 "s/v"는 자본 증가율을 의미합니다.

 

하지만 솔로우 모델에서는 자본 증가율을 "sf(k)/k"로 정의하며, 이는 자본의 생산성을 나타내는 "f(k)/k"를 포함합니다. 이는 솔로우 모델이 헤로드-도마 모델과 구별되는 주요 차이점 중 하나입니다.

 

이 차이점을 통해 우리는 두 모델 모두에서 저축률 s가 공통적인 요소로 사용되지만, 솔로우 모델에서는 "f(k)/k" 부분이 헤로드-도마 모델의 "1/v"와 같은 역할을 한다는 것을 알 수 있습니다. 이를 통해 "v = k/f(k)"라는 관계식을 도출할 수 있습니다.

 

헤로드-도마 모델에서는 자본계수 v가 고정값으로 설정됩니다. 그러나 솔로우 모델에서는 "sf(k)/k"의 형태로 자본 증가율을 정의하며, 이는 인구 증가율 n과 자본의 감가상각률 d를 고려할 때 "sf(k)/k = n + d"라는 균형 조건을 만듭니다. 만약 기술 진보까지 고려한다면, 균형 조건은 "sf(k)/k = n + d + g"로 확장됩니다.

 

이 확장된 균형 조건은 자본의 증가율이 인구 증가율, 감가상각률, 그리고 기술 진보율의 합과 같을 때 경제가 균형 상태에 도달한다는 것을 의미합니다.

 

이는 헤로드-도마 모델의 고정된 자본 출력 비율 v와 대조적으로, 솔로우 모델에서는 자본량 k와 생산 함수 f(k)의 관계에 따라 자본계수가 변동할 수 있음을 나타냅니다.

결국, 솔로우 모델은 경제가 균형 상태에서 벗어났을 때 자본량과 생산량의 변화를 통해 다시 균형 상태로 회귀할 수 있는 메커니즘을 제공합니다.

 

이는 경제가 외부 충격으로 인해 균형 상태에서 벗어났을 때에도 자본량의 조정을 통해 다시 균형 상태로 돌아갈 수 있음을 의미하며, 경제가 장기적으로 안정적인 상태를 유지하며 성장할 수 있음을 보여줍니다.

 

 

솔로우 모형과 헤로드-도마 모형 비교

 

 

 

지금까지 솔로우 모형에 대해 함께 알아본 두 번째 시간이었습니다. 이 시간에는 특히 균제 상태의 중요한 개념과 솔로우 모형이 헤로드-도마 모형과 어떻게 다른지에 대해 자세히 살펴보았습니다. 이해하기 어려운 내용일 수 있지만, 여러분이 이 지식을 자신의 것으로 잘 흡수하여 재테크를 비롯한 다양한 경제적 결정에 유용한 통찰을 얻으실 수 있기를 바랍니다. 감사드립니다.

 

이 포스팅은 개인적인 학습과 견해에 기반하여 작성되었습니다. 따라서 이 내용의 무단 복제나 전재는 허용되지 않음을 알려드립니다. 여러분의 이해와 협조에 감사드립니다.